💡 Где ты встречал унарную систему?

Подумай: когда ты отмечаешь дни в календаре палочками или считаешь очки в игре черточками — это она и есть!

📖 Определение

Система счисления — это набор правил для записи чисел с помощью определенного набора символов (цифр). Количество доступных цифр называется основанием системы счисления.

🔢 Пример записи

Например, число 2024 они бы записали как MMXXIV.

Разложим: MM (1000 + 1000) + XX (10 + 10) + IV (5 − 1).

Обрати внимание на хитрость: меньшая цифра СЛЕВА от большей означает вычитание, а справа — сложение.

🤔 Интересный вопрос

Можно ли римскую систему считать полностью непозиционной? Подсказка: подумай о правиле «меньший символ слева от большего».

❌ Почему от непозиционных систем отказались

Непозиционные системы неудобны:

• Для больших чисел нужно постоянно вводить новые символы
• Невозможно записать дроби или отрицательные числа
• Арифметические операции превращаются в кошмар (попробуй умножить MCMXCIV на XLVII!)

✨ Главная идея

Это и есть позиционная система: значение цифры зависит от её позиции в числе.

💡 Главное изобретение — ноль

Да-да, ноль нужно было изобрести! Без него непонятно, чем отличается 25 от 205.

🌍 Распространение по миру

Арабы познакомились с этой системой, оценили её удобство и распространили по Европе в XII веке. Поэтому мы называем привычные цифры арабскими, хотя изобрели их индийцы.

💬 Цитата великого математика

Французский математик Пьер Симон Лаплас сказал: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им значение не только по форме, но и по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна».

📝 Пример развёрнутой формы

Число 125 248₁₀ раскладывается так:

125 248 = 1·10⁵ + 2·10⁴ + 5·10³ + 2·10² + 4·10¹ + 8·10⁰
        = 1·100000 + 2·10000 + 5·1000 + 2·100 + 4·10 + 8·1
        = 100000 + 20000 + 5000 + 200 + 40 + 8

🎯 Определение

Развёрнутая форма — запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Свёрнутая форма — обычная запись (125 248).

🧮 Схема Горнера: хитрый способ вычисления

Иногда полезно переписать число так, чтобы избежать возведения в степень:

125 248 = ((((1·10 + 2)·10 + 5)·10 + 2)·10 + 4)·10 + 8

Эта форма особенно удобна для программирования — мы можем вычислить число, проходя по цифрам слева направо и каждый раз умножая промежуточный результат на основание.

🚀 Прорыв 1937 года

Немецкий инженер Конрад Цузе создал вычислительную машину на основе двоичной системы счисления. Машина занимала всего 2 м² на столе в его квартире — революционная компактность!

212₃ = 2·3² + 1·3¹ + 2·3⁰ 
     = 2·9 + 1·3 + 2·1 
     = 18 + 3 + 2 
     = 23₁₀

Помним: A₁₆ = 10₁₀

12A₁₆ = 1·16² + 2·16¹ + 10·16⁰ 
      = 256 + 32 + 10 
      = 298₁₀

🔄 Алгоритм

1. Берем первую цифру: 1
2. Умножаем на 2: 1 · 2 = 2
3. Прибавляем следующую цифру: 2 + 0 = 2
4. Умножаем на 2: 2 · 2 = 4
5. Прибавляем следующую цифру: 4 + 0 = 4
6. ...продолжаем до конца числа...
7. Результат: 627₁₀

💡 Почему это удобно?

Нам не нужно запоминать большие степени двойки — мы просто чередуем умножение на 2 и прибавление следующей цифры.

Условие

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Какое основание у этой системы?

Решение

Запишем уравнение: 212q = 57₁₀

Раскроем через степени основания:

2·q² + 1·q¹ + 2·q⁰ = 57
2q² + q + 2 = 57
2q² + q − 55 = 0

Решаем квадратное уравнение: q₁ = −5,5 (не подходит), q₂ = 5

Ответ: основание системы — 5 (пятеричная система счисления)

Условие

Все пятибуквенные слова из букв А, И, Р, С, Т записаны в алфавитном порядке. На каком месте стоит слово ИСТРА? Сколько всего слов в списке?

Решение

Хитрость в том, что этот список — замаскированная последовательность чисел!

Закодируем буквы:

А → 0, И → 1, Р → 2, С → 3, Т → 4

Тогда ИСТРА → 13420₅ (число в пятеричной системе!)

Переводим в десятичную:

13420₅ = 1·5⁴ + 3·5³ + 4·5² + 2·5¹ + 0·5⁰ 
       = 625 + 375 + 100 + 10 
       = 1110₁₀

Но это не место в списке! В списке первое слово ААААА соответствует числу 0 и находится на месте 1.

Значит, слово ИСТРА на месте 1110 + 1 = 1111.

Всего слов: последнее слово ТТТТТ → 44444₅ = 3124₁₀. Значит, в списке 3125 слов.

Условие

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 60, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31.

Решение

В четверичной системе используются цифры 0, 1, 2 и 3. Составим таблицу степеней:

4⁰ = 1
4¹ = 4
4² = 16
4³ = 64

Из этой таблицы видно, что интересующие нас числа (≤ 60) не будут более чем трёхзначными.

С учётом того что их запись заканчивается на 31, определим первую цифру (k):

k·16 + 3·4 + 1 ≤ 60
k·16 ≤ 47
k ∈ {0, 1, 2}

Искомые числа:

• 31₄ = 13₁₀ (k = 0)
• 131₄ = 29₁₀ (k = 1)
• 231₄ = 45₁₀ (k = 2)

Ответ: 13, 29, 45